Les primitives d'une fonction

Exemple

Soit  \(F\)  et  \(G\)  les fonctions définies sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(F(x)=x^2-3x\)  et  \(G(x)=x^2-3x+5\) .
Pour tout \(x\) réel, on a \(F'(x)=2x-3\) et \(G'(x)=2x-3\) .
Les fonctions \(F\) et \(G\) ont la même dérivée, mais ne sont pas égales.
Plus précisément, pour tout réel  \(x\) , on a  \(G(x)=F(x)+5\) .

Théorème

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle  \(I\) et admettant une primitive \(F\) sur cet intervalle.
Les primitives de la fonction \(f\) sur \(I\) sont les fonctions de la forme \(x \mapsto F(x)+C\) , où \(C\) est  une constante réelle.

Démonstration

Soit  \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et admettant une primitive \(F\) sur cet intervalle.

Soit \(G\)  la fonction définie pour tout \(x\) de \(I\) par \(G(x)=F(x)+C\) , où  \(C\) est un réel.
Alors, pour tout  \(x\) de \(I\) , on a \(G'(x)=F'(x)+0=f(x)\) . Donc \(G\) est bien une primitive de \(f\)  sur   \(I\) .

Soit  \(G\) une autre primitive de la fonction \(f\) sur \(I\) .
Alors, pour tout réel \(x\) de \(I\) , on a  \(G'(x)=f(x)\) .
Comme \(F\) est une primitive de  \(f\) sur \(I\) , on a pour tout \(x\) de \(I\) ,  \(F'(x)=f(x)\) .
D'où,   pour tout réel ​​ \(x\) de \(I\) ,  \(G'(x)-F'(x)=0\) , c'est-à-dire \((G-F)'(x)=0\) .
La fonction \(G-F\) a une dérivée nulle sur \(I\)  donc  \(G-F\) est constante sur \(I\) .
On note \(C\) cette constante.
Alors, pour tout réel  \(x\) de \(I\) , on a  \(G(x)-F(x)=C\) , c'est-à-dire \(G(x)=F(x)+C\) .

Remarques

• Si une fonction admet une primitive sur un intervalle , elle en admet une infinité.
  
• Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.